Simulazione Monte Carlo con GBM Uno dei modi più comuni per stimare il rischio è l'uso di una simulazione Monte Carlo (MCS). Ad esempio, per calcolare il valore a rischio (VaR) di un portafoglio, siamo in grado di eseguire una simulazione Monte Carlo che tenta di prevedere il peggio perdita probabile di un portafoglio dato un intervallo di confidenza su un orizzonte di tempo specificato - abbiamo sempre bisogno di specificare due condizioni per VAR: la fiducia e l'orizzonte. (Per la lettura correlate, vedere gli usi e limiti di volatilità e introduzione al Value at Risk (VAR) -. Parte 1 e Parte 2) In questo articolo, passeremo in rassegna un MCS base applicato a un prezzo delle azioni. Abbiamo bisogno di un modello per specificare il comportamento del prezzo delle azioni, e ben utilizzare uno dei modelli più comuni in finanza: moto browniano geometrico (GBM). Pertanto, mentre la simulazione Monte Carlo può fare riferimento a un universo di diversi approcci alla simulazione, inizieremo qui con il più fondamentale. Dove iniziare una simulazione Monte Carlo è un tentativo di prevedere il futuro più volte. Alla fine della simulazione, migliaia o milioni di prove casuali producono una distribuzione dei risultati che possono essere analizzati. I passi fondamentali sono: 1. Specificare un modello (ad esempio moto browniano geometrico) 2. Generare prove casuali 3. Processo l'uscita 1. Specificare un modello (ad esempio, GBM) In questo articolo, useremo il moto browniano geometrico (GBM), che è tecnicamente un processo di Markov. Ciò significa che il prezzo del titolo segue una passeggiata aleatoria ed è coerente con (almeno) la forma debole dell'ipotesi di mercato efficiente (EMH): passato informazioni sui prezzi è già incorporato ed il successivo movimento dei prezzi è condizionatamente indipendente da movimenti di prezzo del passato . (Per ulteriori informazioni su EMH, leggere Lavoro Through The ipotesi di mercato efficiente e che cosa è l'efficienza del mercato) La formula per GBM si trova al di sotto, dove S è il prezzo delle azioni, m (il mu greco) è il rendimento atteso. s (sigma greco) è la deviazione standard dei rendimenti, t è il tempo, ed e (epsilon greco) è la variabile casuale. Se riorganizzare l'formula per risolvere solo per il cambiamento nel prezzo delle azioni, vediamo che GMB dice che il cambiamento nel prezzo delle azioni è il prezzo delle azioni S moltiplicato per i due termini si trovano all'interno della parentesi sotto: Il primo termine è una deriva e la seconda termine è uno shock. Per ogni periodo di tempo, il nostro modello assume il prezzo deriva dal rendimento atteso. Ma la deriva sarà sconvolto (aggiunto o sottratto) da uno shock casuale. Lo shock casuale sarà la deviazione standard, s moltiplicato per un numero casuale e. Questo è semplicemente un modo di scalare la deviazione standard. Questa è l'essenza del GBM, come illustrato nella figura 1. Il prezzo delle azioni segue una serie di passaggi, dove ogni passo è una deriva Plusminus uno shock casuale (esso stesso una funzione della deviazione standard scorte): Theory base geometrica moto browniano, e altri processi stocastici costruiti da esso, sono spesso utilizzati per modellare la crescita della popolazione, processi finanziari (come ad esempio il prezzo di un titolo nel corso del tempo), soggetta a rumore casuale. Definizione Supponi che (bs) è il moto browniano di serie e che (mu in R) e (Sigma a (0, infty)). Lasciate Xt expleftleft (mu - frac destra) t sigma Ztright, quad t a 0, infty) Il processo stocastico (bs) è moto browniano geometrica di parametro drift (mu) e il parametro di volatilità (sigma). Si noti che il processo stocastico sinistra a destra) t Sigma Zt: t a 0, infty) a destra è il moto browniano con parametri di deriva (mu - sigma2 2) e parametro di scala (Sigma), in modo geometrico moto browniano è semplicemente l'esponenziale di questo processo. In particolare, il processo è sempre positivo, uno dei motivi che moto browniano geometrico è utilizzato per modellare i processi finanziari e di altro tipo che non può essere negativo. Si noti, inoltre, che (X0 1), in modo che il processo inizia a 1, ma possiamo facilmente cambiare questo. Per (x0 a (0, infty)), il processo () è moto browniano geometrico a partire da (x0). Si può anche chiedersi il particolare di parametri di combinazione (mu - sigma2 2) nella definizione. La risposta breve alla domanda è data nella seguente teorema: moto browniano geometrico (bs) soddisfa l'equazione differenziale stocastica d, Xt mu Xt, dt sigma Xt, DZT nota che la parte deterministica di questa equazione è l'equazione differenziale standard per esponenziale crescita o decadimento, con il parametro frequenza (mu). Eseguire la simulazione del moto browniano geometrico diverse volte in modalità passo singolo per vari valori dei parametri. Notare il comportamento del processo. Distribuzioni (F) aumenta e poi diminuisce con modalità a (x expleftleft (MU - frac sigma2right) tright) (f) è concava verso l'alto, poi verso il basso, poi verso l'alto di nuovo con punti di flesso a (x expleft (mu - sigma2) t pm frac Sigma sqrt destra) Dimostrazione: Dato che la variabile (Ut sinistra (mu - sigma2 2right) t Sigma Zt) abbia distribuzione normale con media ((mu - sigma22) t) e deviazione standard (sigma sqrt), ne consegue che (Xt exp (Ut)) ha distribuzione lognormale con questi parametri. Questi risultato per il PDF e seguire direttamente dai corrispondenti risultati per il PDF lognormale. In particolare, moto browniano geometrico non è un processo gaussiano. Aprire la simulazione del moto browniano geometrico. Variare i parametri e osserva la forma della funzione di densità di probabilità (Xt). Per vari valori dei parametri, eseguire la simulazione 1000 volte e confrontare la funzione di densità empirica alla funzione di densità di probabilità vera. Per (t a (0, infty)), la funzione di distribuzione (Ft) di (Xt) è dato dalla Ft (x) Phileftfrac destra, quad x in (0, infty) dove (Phi) è la funzione di distribuzione normale standard. Ancora una volta, questo segue direttamente dal CDF della distribuzione lognormale. Per (t a (0, infty)), la funzione quantile (Ft) di (Xt) è dato dalla Ft (p) expleft (mu - sigma2 2) t Sigma Sqrt Phi (p) a destra, quad p a (0, 1) dove (Phi) è la funzione quantile normale standard. Questo segue direttamente dalla funzione quantile lognormale. Per (n in N) e (t a 0, infty), (Eleft (Xtnright) e) Ciò deriva dal la formula per i momenti della distribuzione lognormale. Per (t a 0, infty)), in particolare, si noti che la funzione di media (m (t) E (Xt) e) per (t a 0, infty)) soddisfa la parte deterministica dell'equazione differenziale stocastica sopra. Aprire la simulazione del moto browniano geometrico. Il grafico della funzione media (m) viene mostrata come una curva blu nella casella grafico principale. Per vari valori dei parametri, eseguire la simulazione 1000 volte e notare il comportamento del processo casuale in relazione alla funzione media. Aprire la simulazione del moto browniano geometrico. Variare i parametri e notare la dimensione e la posizione della media (pm) Barra di deviazione standard (Xt). Per vari valori del parametro, eseguire la simulazione 1000 volte e confrontare la media e deviazione standard empirica alla vera media e deviazione standard. Le proprietà dei parametri (mu - sigma2 2) determina il comportamento asintotico del moto browniano geometrico. Se (mu GT sigma2 2) poi (Xt a Infty) come (t a Infty) con probabilità 1. Se (mu lt sigma2 2) poi (Xt a 0), come (t a Infty) con probabilità 1. Se (mu sigma2 2) poi (Xt) non ha limite (t a infty) con probabilità 1. Dimostrazione: Questi risultati seguono dalla legge del teh logaritmo iterativo. Asintoticamente, il termine (da sinistra (MU - sigma2 2right) t) domina il termine (Sigma Zt) come (t Infty). Quando il parametro deriva è 0, geometrica moto browniano è una martingala. Se (mu) 0, moto browniano geometrico (BS) è una martingala rispetto al moto browniano sottostante (bs). Prova da integrali stocastici Questa è la prova più semplice. Quando (mu 0), (BS) soddisfa l'equazione differenziale stocastica (d, Xt Xt sigma, DZT) e quindi Xt. int0t Xs, DZS, quad t ge 0 Il processo associato a un integrale stocastico è sempre una martingala, assumendo le solite ipotesi sul processo integrando (che sono soddisfatti qui). Sia (mathscr t sigma) per (t 0, infty)), in modo che (mathfrak t: t 0, infty)) è la filtrazione naturale associato (bs). Sia (s, t a 0, infty)) con (s Le t). Usiamo la nostra solito trucco di scrivere (Zt Zs (Zt - Zs)), per sfruttare le stazionarie e indipendenti incrementi proprietà del moto browniano. Così, Xt expleft-frac t Sigma Zs sigma (Zt - Zs) a destra Dal momento che (Zs) è misurabile rispetto al (mathscr s) e (Zt - Zs) è indipendente (mathscr s) abbiamo Eleft (Xt metà mathscr sright ) expleft (-frac t Sigma Zsright) Eleftsigma (Zt - Zs) a destra, ma (Zt - Zs) ha distribuzione normale con media 0 e varianza (t - s), in modo da la formula per il momento la funzione della distribuzione normale generazione , abbiamo Eleftsigma (Zt - Zs) destro expleftfrac (t - s) Sostituendo destro dà Eleft (Xt metà mathscr sright) expleft (-frac s Sigma Zsright) Xs
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